Normal cone approximation and offset shape isotopy

This work adresses the problem of the approximation of the normals of the offsets of general compact sets in euclidean spaces. It is proven that for general sampling conditions, it is possible to approximate the gradient vector field of the distance to general compact sets. These conditions involve the μ-reach of the compact set, a recently introduced notion of feature size. As a consequence, we provide a sampling condition that is sufficient to ensure the correctness up to isotopy of a reconstruction given by an offset of the sampling. We also provide a notion of normal cone to general compact sets which is stable under perturbation. Key-words: Distance Function, Medial Axis, geometric approximation, normal cone ∗ INRIA Futurs, projet Geometrica, [email protected] † INRIA Sophia, projet Geometrica, [email protected] ‡ Dassault Systèmes (Aix-en-Provence) and LMC-IMAG, Grenoble, France, [email protected] in ria -0 01 24 82 5, v er si on 2 20 J an 2 00 7 Approximation des cônes normaux et isotopie des offsets de formes Résumé : Ce travail aborde le problème de l’approximation des offsets des sous-ensembles compacts des espaces euclidiens. On prouve que sous des conditions d’échantillonnage générales, il est possible d’approximer le gradient de la fonction distance à un ensemble compact. Ces conditions la notion récemment introduite de μ-reach. Ce résultat permet de fournir une condition d’échantillonnage de formes suffisante pour assurer que la reconstruction obtenue en considérant un offset de l’échantillon est isotope à la forme considérée. On introduit également une notion de cone normal stable par perturbation des compacts. Mots-clés : Fonction distance, Axe médian, Approximation géométrique, cône normal in ria -0 01 24 82 5, v er si on 2 20 J an 2 00 7 Normal Cone Approximation and Offset Shape Isotopy 3